ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (2)

記事の趣旨

本記事は前回の記事の続編である。連続体濃度 $\mathfrak{c}$ と最小の非可算基数 $\aleph_1$ との関係について論ずる。

注意

この記事においては、基本的に ZF 公理系を採用する。またこの記事は Loren J. Halbeisen "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing" の 4 章を大きく参考にしている。

準備

定義 1 基数 $\kappa, \lambda$ について、 $\kappa \leq^* \lambda$ とは、 $\lambda$ から $\kappa$ への全射が存在することをいう。

補題 2 基数 $\kappa,\lambda$ について、 $\kappa \leq \lambda$ ならば $\kappa \leq^* \lambda$ である。

証明濃度 $\kappa, \lambda$ を持つ集合 $A, B$ を取ると、ある単射 $f \colon A \to B$ が存在することがいえる。このとき $f$ の像に含まれる元については $f$ によって引き戻した元を、そうでない元については適当な $A$ の一点を充てる写像を考えると、これは $B$ から $A$ への全射となる。Q.E.D.

補題 3 基数 $\kappa,\lambda$ について、 $\kappa \leq^* \lambda$ ならば $2^\kappa \leq 2^\lambda$ である。

証明 $f\colon B \to A$ なる全射について, $X \subset A$ に対して $f^{-1}(X) \subset B$ を充てる対応は単射となる。Q.E.D.

$\mathfrak{c}$ と $\aleph_1$ の関係

補題 4 順序数 $\alpha \in \omega_1$ について、集合 $Q_\alpha \subset \mathbb{Q} \cap (0,1)$ であって $\alpha$ とのあいだに順序同型が存在するようなものをとれる。

証明 $\alpha$ が有限の場合は明らかである。 $\alpha$ が無限順序数の場合には、これは可算であるため $\alpha$ の元の列挙 $\{\beta_i\}_{i \in \omega}$ がとれる。また、 $\mathbb{Q} \cap (0,1)$ は可算無限であるため、列挙 $\{q_i\}_{i \in \omega}$ がとれる。このとき、帰納的に $\beta_i$ の行き先を定めることで写像 $f \colon \alpha \to \mathbb{Q} \cap (0,1)$ を構成する。

$\beta_0$ の行き先として $q_0$ を充てる。また、 $\beta_n$ の行き先として、 $i \lt n$ について $\beta_i \lt \beta_n$ と $f(\beta_i) \lt q_m$ が同値になるような最小の $m$ について $q_m$ を充てると、 $f$ は目的の写像となる。 $Q_\alpha$ としては $f$ の像をとればよい。Q.E.D.

定理 5 $\aleph_1 \leq^* \mathfrak{c}$ .

証明 $(0,1)$ は連続体濃度を持つため、 $(0,1)$ から $\omega_1$ への全射を構成すればよい。 $r \in (0,1)$ についてその $2$ -進小数展開の小数点以下 $n$ -桁目を $r_n$ と表記する。このとき $Q_r := \{q_n| r_{2n} = 1\}$ とすると、任意の $\alpha \in \omega_1$ に対してある $r \in (0,1)$ であって $Q_r$ が順序型 $\alpha$ を持つようなものが存在する。よって、 $Q_r$ が整列順序付けられているときには $r$ に対して $Q_r$ の順序型を充て、そうでないときには適当な一点につぶす写像は $(0,1)$ から $\omega_1$ への全射となる。

系 6 $2^{\aleph_1} \leq 2^\mathfrak{c}$ .

証明定理 5 と補題 3 より従う.

命題 7 実数集合 $\mathbb{R}$ が可算集合の可算和として表せるならば、 $\aleph_1 \not\leq \mathfrak{c}$ が成り立つ。

証明 $\mathfrak{c}^\omega = \mathfrak{c}$ より、 $^\omega \mathbb{R}$ が可算集合の族 $\{F_n\}$ の合併で表されるとしてよい。ここで単射 $j\colon \omega_1 \to \mathbb{R}$ があったとして矛盾を導く。