ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (3)

記事の趣旨

本記事は前回の記事の続編である。順序数の Cantor 標準形の存在や、Hartogs の定理、またその簡単な応用について論じる。

注意

この記事においては、基本的に ZF 公理系を採用する。またこの記事は Loren J. Halbeisen "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing" の 4 章を大きく参考にしている。

Cantor 標準形

補題 1 順序数 $\alpha$ に対して次の条件をみたす順序数 $\beta$ がただひとつ存在する:

$\omega^\beta \leq \alpha \lt \omega^{\beta + 1}$ .

証明帰納的に $\alpha \leq \omega^\alpha$ が示される。したがって、 $\alpha \lt \omega^\gamma$ をみたすような最小の順序数 $\gamma$ をとることができるが、これは極限順序数ではあり得ないため、ある順序数 $\beta$ によって $\gamma = \beta + 1$ が成り立つ。よってこのとき $\omega^\beta \leq \alpha \lt \omega^{\beta + 1}$ が成り立ち、明らかにこのような $\beta$ はただひとつに定まる。Q.E.D.

補題 2 無限順序数 $\alpha$ に対し、ある正整数 $k$ と順序数 $\beta$ と順序数 $\alpha' \lt \omega^\beta$ について $\alpha = \omega^\beta \cdot k + \alpha'$ と表示でき、またこの表示は一意的である。

証明 $\beta$ を補題 1 の条件をみたすような順序数とする。このとき、明らかにある正整数 $k$ によって $\omega^\beta \cdot k \leq \alpha \lt \omega^\beta \cdot (k+1)$ が成り立つ。このとき $\alpha - \omega^\beta \cdot k$ を $\alpha'$ とおくと、 $\alpha = \omega^\beta \cdot k + \alpha'$ が成り立つ。一意性は明らか。Q.E.D.

定理 3 任意の順序数 $\alpha$ について、有限個の順序数 $\alpha \geq \alpha_0 \gt \alpha_1\ \gt \ldots \gt \alpha_n \geq 0$ と正整数 $k_0, \ldots ,k_n$ によって $\alpha = \omega^{\alpha_0} \cdot k_0 + \omega^{\alpha_1} \cdot k_1 + \ldots + \omega^{\alpha_n}\cdot k_n$ として表示でき、またこの表示は一意的である。

証明補題 2 の帰納的適用によって得られる。また、一意性についても明らかである。Q.E.D.

定理 3 によって得られた表示を Cantor 標準形とよぶ。

Hartogs の定理

定理 4 基数 $\kappa$ について、順序数 $\alpha$ であって $\alpha \not\leq \kappa$ なるものが存在する。

証明 $B \subset \mathcal{P}(A\times A)$ を $A$ 上の整列順序全体の集合とする。このとき $\alpha = \{\mathrm{order.type.}(R)|R \in B\}$ とおくと $\alpha$ は順序数となる。このとき $\alpha \to A$ なる単射が存在したならば $\alpha \in \alpha$ となって矛盾する。Q.E.D.

応用

定理 5 順序付け可能な無限集合 $A$ について $A, \mathrm{fin}(A), \mathrm{seq}^{\mathrm{inj}}(A), \mathrm{seq}(A)$ の濃度は同等である。ただし $\mathrm{seq}^{\mathrm{inj}}(A), \mathrm{seq}(A)$ とはそれぞれ $A$ に値をとる単射的な有限列全体、有限列全体の集合のことを指す。

証明明らかに $|A| \leq |\mathrm{fin}(A)| \leq |\mathrm{seq}^{\mathrm{inj}}(A)| \leq |\mathrm{seq}(A)|$ が成り立つため、 $|\mathrm{seq}(A)| \leq |A|$ を示せばよい。

$A$ を順序付けすることで $A$ を順序数であると思ってよい。このとき、Cantor 標準形をとることで $\omega^{\alpha_0} \cdot k_0 + \omega^{\alpha_1} \cdot k_1 + \ldots + \omega^{\alpha_n}\cdot k_n$ として表示されているとしてよい。これは $\omega^{\alpha_n}$ への全単射を持つため、以下 $A$ を $\omega^\alpha$ であると思ってよい。

$n \in \omega$ を渡って $^nA$ から $A$ への単射 $f_n$ の族が存在することに注意すると、 $\mathrm{seq}(A)$ の元 $s$ について $f_2(|s|, f_{|s|}(s))$ を充てる対応は単射となる。Q.E.D.

定理 6 基数 $\kappa$ について $2^\kappa \leq \kappa^2$ ならば $\kappa \leq 4$ が成り立つ。

証明 $\kappa$ が有限の場合は明らか。 $\kappa$ が無限集合であるとして、 $f \colon \mathcal{P}(A) \to A \times A$ なる単射の存在から矛盾を導く。

まず $\omega \to A$ なる単射を構成する。適当な $5$ 点を選び、 $F_5\colon 5 \to A$ なる単射をつくる。次に、 $F_n \colon n \to A$ なる単射が構成できたときにこれを $F_{n+1} \colon n+1 \to A$ へ延長することを考える。 $F_n$ の像を $Z_n$ とおく。このとき、 $f"[\mathcal{P}(Z_n)] \setminus Z_n \times Z_n$ には元が存在するが、 $\mathcal{P}(Z_n)$ には標準的な方法で順序を入れられるため(辞書式順序など)、 $f"[\mathcal{P}(Z_n)] \setminus Z_n \times Z_n$ から標準的な方法で元をひとつとることができる。よって標準的な方法で $A\setminus Z_n$ の元をひとつとることができる。よって帰納的に単射 $F_\omega \colon \omega \to A$ をとることができる。

次に順序数 $\alpha$ について単射 $F_\alpha \colon \alpha \to A$ がとれたとする。 $F_\alpha$ の像を $Z_n$ とおくと、Cantor 標準形を用いて標準的な方法で $\alpha \to \alpha \times \alpha$ なる全単射をとることができるため、 $t \colon Z_\alpha \to Z_\alpha \times Z_\alpha$ なる全単射を標準的にとることができる。

次に、 $s\colon Z_\alpha \to \mathcal{P}(Z_\alpha)$ を、 $a \in Z_\alpha$ に対して $f(x) = t(a)$ なる $x$ が存在するならばその $x$ を、そうでなければ適当な値を充てる関数としてとる。また $C = \{a \in Z_\alpha| a \notin s(a)\}$ としてとる。ここで、 $f(C) \in Z_\alpha \times Z_\alpha$ ならばこれは矛盾を導くので、標準的な方法で再び $A\setminus Z_\alpha$ の元をとることができる。よって、帰納的に順序数全体のクラスから $A$ への単射がとれることになるが、これは定理 4 に反する。よって $\kappa$ は無限基数ではあり得ない。Q.E.D.