ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (4)

記事の趣旨

本記事は前回の記事の続編である。本記事においてはふたつの結果を紹介する。

注意

この記事においては、基本的に ZF 公理系を採用する。またこの記事は Loren J. Halbeisen "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing" の 4 章を大きく参考にしている。

$\mathrm{fin}(\kappa) \lt 2^\kappa$

定理 1 無限基数 $\kappa$ について $\mathrm{fin}(\kappa) \lt 2^\kappa$ が成り立つ。

証明明らかに $\mathrm{fin}(\kappa) \leq 2^\kappa$ である。以下これらが等しくならないことを示す。

濃度 $\kappa$ を持つ集合 $A$ を任意に取る。このとき $f\colon \mathcal{P}(A) \to \mathrm{fin}(A)$ なる全単射がとれたとして矛盾を導く。

まず単射 $F_\omega \colon \omega \to \mathrm{fin}(A)$ を次のように構成する:

$n \in \omega$ に対して $F_\omega(n) = f^n(A)$ .

次に、無限順序数 $\alpha$ に対して $F_\alpha \colon \alpha \to \mathrm{fin}(A)$ なる単射が構成できたとして単射を延長することを考える。 $F_\alpha(i)$ についてこれを以下 $s_i$ と表記する。

$A$ 上に次のように同値関係を入れる:

$x \sim y \Leftrightarrow \forall i \in \alpha(x \in s_i \Leftrightarrow y \in s_i)$ .

また $x \in A$ と $\mu \in \alpha$ について $D_{x, \mu} = \bigcap_{i \in \mu, x \in s_i} s_i$ と定める。さらに $g_x = \{\mu \in \alpha|x \in s_\mu \land (s_\mu \cap D_{x, \mu} \neq D_{x, \mu})\}$ と定める。

$x \sim y$ ならば、明らかに任意の $\mu \in \alpha$ について $D_{x, \mu} = D_{y, \mu}$ が成り立つため、 $g_x = g_y$ が成り立つ。また逆に $x \not\sim y$ であるとして、一般性を失わずに、ある $\mu \in \alpha$ について、 $x \in s_\mu$ かつ $y \notin s_\mu$ かつ $\mu' \in \mu$ について $x \in s_{\mu'} \Leftrightarrow y \in s_{\mu'}$ が成り立つようなものをとれる。このとき $\mu \in g_x$ かつ $\mu \notin g_y$ が成り立つため、 $g_x \neq g_y$ が示される。よって $x \sim y \Leftrightarrow g_x = g_y$ が示された。

また、構成より明らかに $g_x$ は有限集合である。より、ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (3) - 空-Q-所為定理 5 の証明から $\{g_x|x \in A\} \to \alpha$ なる標準的な単射を得ることができる。よって $\{g_x|x \in A\}$ からある順序数 $\gamma \in \alpha$ への全単射 $h$ を得ることができる。このとき、 $i \in \alpha$ に対して $s_i$ は有限個の $\sim$ -同値類の和で表されることに注意すると、 $\alpha \to \mathrm{fin}(\gamma)$ なる単射が得られる。ここから、Cantor-Bernstein の方法により標準的に全単射 $H \colon \gamma \to \alpha$ なる全単射を得ることができる。

ここで写像 $\Gamma \colon A \to \mathcal{P}(A)$ を次のように定める:

$x \in A$ に対し、 $f^{-1}(s_{H(h(g_x))})$ を充てる。

このとき $C = \{x \in A|x \notin \Gamma(x)\}$ とすると、 $f(C)$ は $F_\alpha$ の像には入らないことが示されるため、延長 $F_{\alpha + 1}$ を構成できる。超限帰納的に順序数全体のクラスから $\mathrm{fin}(A)$ への単射が構成できることになってしまうが、これは矛盾である。Q.E.D.

$2^\kappa = n \cdot \mathrm{fin}(\kappa) \Rightarrow n = 2^k$

定理 2 $2^\kappa = n \cdot \mathrm{fin}(\kappa)$ がある自然数 $n \in \omega$ について成り立つとすると、 $n$ はある自然数 $k \in \omega$ について $n = 2^k$ が成り立つ。

証明 $\kappa$ が有限ならば $n = 1$ となりよい。 $n$ が $2$ のベキでないとして矛盾を導く。以下濃度 $\kappa$ の集合 $A$ をとる。

$f \colon n \times \mathrm{fin}(A) \to \mathcal{P}(A)$ なる全単射をとる。

まず、 $F_\omega \colon \omega \to \mathrm{fin}(A)$ なる単射をつくることを目標にする。 $f^{-1}(A)$ が $\langle m_0, x_0 \rangle$ と表示されるとする。次に $x_0, \ldots, x_l$ まで $\mathrm{fin}(A)$ の元であって相異なるものを選んだとする。このとき、 $i \in n$ について $X_{i,j} := f(\langle i, x_j \rangle)$ とする。ここで $a \sim b \Leftrightarrow \forall i,j(a \in X_{i,j} \Leftrightarrow b \in X_{i,j})$ が成り立つように同値関係を定め、 $E$ を同値類のいくつかの合併として表されるものの集合とする。このとき $E$ の濃度は $2$ のベキである。特に $n(l+1)$ とは一致しない。従って、標準的な形で適切に定められた $E$ 上の順序のもとで $X_{i,j}$ とは異なる元 $X$ を選ぶことができる。このとき $f(X) = \langle m_{l+1}, x_{l+1}$ と表示されたなら、 $x_{l+1}$ は $x_0, \ldots, x_l$ とは異なる元である。よって $F_\omega \colon \omega \to \mathrm{fin}(A)$ なる単射を構成できた。

$A$ 上に次のように同値関係を入れる:

$x \sim y \Leftrightarrow \forall i \in \alpha(x \in s_i \Leftrightarrow y \in s_i)$ .

また、構成より明らかに $g_x$ は有限集合である。より、ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (3) - 空-Q-所為定理 5 の証明から $\{g_x|x \in A\} \to \alpha$ なる標準的な単射を得ることができる。よって $\{g_x|x \in A\}$ からある順序数 $\gamma \in \alpha$ への全単射 $h$ を得ることができる。このとき、 $i \in \alpha$ に対して $s_i$ は有限個の $\sim$ -同値類の和で表されることに注意すると、 $\alpha \to \mathrm{fin}(\gamma)$ なる単射が得られる。ここから、Cantor-Bernstein の方法により標準的に全単射 $H' \colon \gamma \to \alpha$ なる全単射を得ることができる。さらに Cantor 標準形に遡ればこれを $H = (H_1, H_2) \colon \gamma \to n \times \alpha$ なる同型に標準的に変形できる。

ここで写像 $\Gamma \colon A \to \mathcal{P}(A)$ を次のように定める:

$x \in A$ に対し、 $f(\langle H_1(h(g_x)), s_{H_2(h(g_x))} \rangle)$ を充てる。

このとき $C = \{x \in A|x \notin \Gamma(x)\}$ とすると、 $f^{-1}(C)$ が $\langle m_{\alpha+1}, s_{\alpha + 1} \rangle$ とおくと $s_{\alpha + 1}$ は $F_\alpha$ の像には入らないことが示されるため、延長 $F_{\alpha + 1}$ を構成できる。超限帰納的に順序数全体のクラスから $\mathrm{fin}(A)$ への単射が構成できることになってしまうが、これは矛盾である。Q.E.D.

参考文献

Loren J. Halbeisen, "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing", 2012.
Halbeisen, Lorenz, and Saharon Shelah. “Consequences of Arithmetic for Set Theory.” The Journal of Symbolic Logic, vol. 59, no. 1, Association for Symbolic Logic, 1994, pp. 30–40, https://doi.org/10.2307/2275247 .