ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (5)

記事の趣旨

本記事は前回の記事の続編である。本記事では、$2^\kappa$, $\mathrm{seq}(\kappa)$, $\mathrm{seq}^\mathrm{inj}(\kappa)$ の関係について調べる。

注意

この記事においては、基本的に ZF 公理系を採用する。またこの記事は Loren J. Halbeisen "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing" の 4 章を大きく参考にしている。

D-無限基数 $\kappa$ について

命題 1 D-無限基数 $\kappa$ について、$2^\kappa \not\leq \mathrm{seq}(\kappa)$ が成り立つ。

証明 $A$ を濃度 $\kappa$ の集合とし、$\mathcal{P}(A) \to \mathrm{seq}(A)$ なる単射が存在したとして矛盾を導く。$A$ が D-無限であるため、$F_\omega \colon \omega \to A$ なる単射が存在する。この写像を延長していくことを考える。

$F_\alpha \colon \alpha \to A$ なる単射が存在したとする。このとき $F_\alpha$ の像を $S_\alpha$ とおいて $g \colon S_\alpha \to \mathrm{seq}(S_\alpha)$ なる標準的な全単射がとれる。このとき $\Gamma \colon S_\alpha \to \mathcal{P}(S_\alpha)$ を次のようにとる:

$\Gamma(a)$ を、$g(a)$ が $f$ の像であるとき $f^{-1}(g(a))$ と、そうでない時は適当な一点へ充てる。

このとき、$C = \{x \in S_\alpha|x \notin \Gamma(x)\}$ とおく。このとき $f(C)$ は $\mathrm{seq}(S_\alpha)$ には入らない。従って $S_\alpha$ に入らない最も若い座標成分の値をとれば、これは $S_\alpha$ に入らない元を標準的に選んだことになる。超限的にこの構成を繰り返せば矛盾が導かれる。Q.E.D.

系 2 D-無限基数 $\kappa$ について、$2^\kappa \not\leq \mathrm{seq}^\mathrm{inj}(\kappa)$ が成り立つ。

証明命題 1 より。Q.E.D.

$\mathrm{seq}(\kappa) \neq 2^\kappa$

命題 3 基数 $1 \leq \kappa$ について、$\mathrm{seq}(\kappa) \neq 2^\kappa$ が成り立つ。

証明基数 $1 \leq \kappa$ について $\mathrm{seq}(\kappa) = 2^\kappa$ であったとき、$\mathrm{seq}(\kappa + \aleph_0) \geq 2^{\kappa + \aleph_0)$ となることを示すことで、命題 1 より矛盾を導く。濃度 $\kappa$ の集合 $A$ と全単射 $f \colon \mathcal{P}(A) \to \mathrm{seq}(A)$ を固定する。

適当な $A$ の点 $a$ を固定する。このとき、$n \in \omega$ について $\langle a, \ldots , a \rangle$ (長さ $n$ の列) を $f$ で引き戻した元は相異なるため、$\mathcal{P}(A)$ は D-無限となる。ZF 集合論上での基数についての基本的性質 (1) - 空-Q-所為命題 7 より、$2^\aleph_0 \leq 2^\kappa$ が成り立つ。より、$g \colon \mathcal{P}(\omega) \to \mathcal{P}(A)$ なる単射をとることができる。このとき $F \colon \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(\omega) \to \mathrm{seq}(A \cup \omega)$ を次のようにとる:

$\langle x, y\rangle$ について $f(x) + 0 + f(g(y))$ を充てる。

すると、$F$ は単射となるため、$2^{\kappa + \aleph_0} \leq \mathrm{seq}(\kappa + \aleph_0)$ が成り立つが、これは矛盾である。Q.E.D.

参考文献

Loren J. Halbeisen, "Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing", 2012.
Halbeisen, Lorenz, and Saharon Shelah. “Consequences of Arithmetic for Set Theory.” The Journal of Symbolic Logic, vol. 59, no. 1, Association for Symbolic Logic, 1994, pp. 30–40, https://doi.org/10.2307/2275247 .