直線とのテンソルと既約性

記事の趣旨

既約スキーム $X$ に対して、スキーム $X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z}$ が既約であることを示す。

議論

定理既約スキーム $X$ に対し、 $X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z}$ は既約である。

証明 $X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z}$ の閉集合 $Y, Z$ であって $Y \cup Z = X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z}$ なるものをとる。ここで、射影 $X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z} \to X$ を $\pi$ とおいたとき $V_Y = \{x \in X|\pi^{-1}(x) \subset Y\}$ , $V_Z = \{x \in X|\pi^{-1}(x) \subset Z\}$ と定める。

$x \in X$ について $\pi^{-1}(x)$ は位相空間として $\mathrm{Spec}(\kappa(x)) \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z} \cong \mathrm{Spec}(\kappa(x))[t]$ と一致するため、これは既約である。よって $X \times_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbb{A}^1_\mathbb{Z} = Y \cup Z$ であったため、 $X = V_Y \cup V_Z$ が成立する。

次に、 $V_Y$ が $X$ の閉集合であることを示す。これは、 $X$ について局所的な問題であるため、 $X = \mathrm{Spec}(A)$ であると仮定してよい。

ここで、 $A[x]$ のイデアル $I$ について $Y = V(I)$ と表示されるとすると、 $\mathfrak{p} \in V_Y$ とは、 $\mathrm{Spec}(\kappa(\mathfrak{p})[t]/I\kappa(\mathfrak{p})[t]) \to \mathrm{Spec}(\kappa(\mathfrak{p})[t])$ が全射となっていることと同値であり、これは $I \subset \mathfrak{p}[t]$ と同値であることに注意すれば、 $V_Y$ が閉集合となることがわかる。